主成分分析（PCA）原理
在高维数据处理中，为了简化计算量以及储存空间，需要对这些高维数据进行一定程度上的降维，并尽量保证数据的不失真。PCA和ICA是两种常用的降维方法。
PCA：principal component analysis ，主成分分析
ICA ：Independent component analysis，独立成分分析
PCA,ICA都是统计理论当中的概念，在机器学习当中应用很广，比如图像，语音，通信的分析处理。
从线性代数的角度去理解，PCA和ICA都是要找到一组基，这组基张成一个特征空间，数据的处理就都需要映射到新空间中去。
两者常用于机器学习中提取特征后的降维操作
PCA是找出信号当中的不相关部分(正交性），对应二阶统计量分析。PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值(SVD)分解去实现。特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵,SVD没有这个限制。
PCA的问题其实是一个基的变换，使得变换后的数据有着最大的方差。方差的大小描述的是一个变量的信息量，我们在讲一个东西的稳定性的时候，往往说要减小方差，如果一个模型的方差很大，那就说明模型不稳定了。但是对于我们用于机器学习的数据（主要是训练数据），方差大才有意义，不然输入的数据都是同一个点，那方差就为0了，这样输入的多个数据就等同于一个数据了。
主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。一般我们提到降维最容易想到的算法就是PCA，下面我们就对PCA的原理做一个总结。
1. PCA的思想
PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据$$(x{(1)},x{(2)},...,x^{(m)})$$。我们希望将这m个数据的维度从n维降到n'维，希望这m个n'维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n'维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n'维的数据尽可能表示原来的数据呢？
我们先看看最简单的情况，也就是n=2，n'=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，$$u_1$$和$$u_2$$，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出，$$u_1$$比$$u_2$$好。
为什么$$u_1$$比$$u_2$$好呢？可以有两种解释，第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近，第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。
假如我们把n'从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。
基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。
2. PCA的推导:基于小于投影距离
我们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。
假设m个n维数据$$(x{(1)}, x{(2)},...,x{(m)})$$都已经进行了标准化，即$$\sum\limits_{i=1}{m}x{(i)}=0$$。经过投影变换后得到的新坐标系为$${w_1,w_2,...,w_n}$$,其中w是标准正交基，即$$||w||_2=1, w_iTw_j=0$$。
如果我们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为$${w_1,w_2,...,w_{n'}}$$,样本点$$x{(i)}$$在n'维坐标系中的投影为：$$z{(i)} = (z_1{(i)}, z_2{(i)},...,z_{n'}{(i)})$$.其中，$$z_j{(i)} = w_jTx{(i)}$$是$$x^{(i)}$$在低维坐标系里第j维的坐标。
如果我们用$$z{(i)}$$来恢复原始数据$$x{(i)}$$,则得到的恢复数据$$\overline{x}{(i)} = \sum\limits_{j=1}{n'}z_j{(i)}w_j = Wz{(i)}$$,其中，W为标准正交基组成的矩阵。
现在我们考虑整个样本集，我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：$$\sum\limits_{i=1}{m}||\overline{x}{(i)} - x{(i)}||_22$$
将这个式子进行整理，可以得到:
$$\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}{m}||\overline{x}{(i)} - x{(i)}||_22 & = \sum\limits_{i=1}{m}|| Wz{(i)} - x{(i)}||_22 \& = \sum\limits_{i=1}{m}(Wz{(i)})T(Wz{(i)}) - 2\sum\limits_{i=1}{m}(Wz{(i)})Tx{(i)} + \sum\limits_{i=1}{m} x{(i)T}x{(i)} \& = \sum\limits_{i=1}{m}z{(i)T}z{(i)} - 2\sum\limits_{i=1}{m}z{(i)T}WTx{(i)} +\sum\limits_{i=1}{m} x{(i)T}x{(i)} \& = \sum\limits_{i=1}{m}z{(i)T}z{(i)} - 2\sum\limits_{i=1}{m}z{(i)T}z{(i)}+\sum\limits_{i=1}{m} x{(i)T}x{(i)} = - \sum\limits_{i=1}{m}z{(i)T}z{(i)} + \sum\limits_{i=1}{m} x{(i)T}x{(i)} \& = -tr(WT(\sum\limits_{i=1}{m}x{(i)}x{(i)T})W) + \sum\limits_{i=1}{m} x{(i)T}x{(i)} = -tr( WTXXTW) + \sum\limits_{i=1}{m} x{(i)T}x{(i)} \end{aligned}$$
其中第（1）步用到了$$\overline{x}{(i)}=Wz{(i)}$$,第二步用到了平方和展开，第（3）步用到了矩阵转置公式$$(AB)T =BTAT$$和$$WTW=I$$,第（4）步用到了$$z{(i)}=WTx{(i)}$$，第（5）步合并同类项，第（6）步用到了$$z{(i)}=WTx{(i)}$$和矩阵的迹,第7步将代数和表达为矩阵形式。
注意到$$\sum\limits_{i=1}{m}x{(i)}x{(i)T}$$是数据集的协方差矩阵，W的每一个向量$$w_j$$是标准正交基。而$$\sum\limits_{i=1}{m} x{(i)T}x{(i)}$$是一个常量。最小化上式等价于：
$$ arg min-tr( WTXXTW) $$
$$ s.t. W^TW=I $$
这个最小化不难，直接观察也可以发现最小值对应的W由协方差矩阵$$XXT$$最大的n'个特征值对应的特征向量组成。当然用数学推导也很容易。利用拉格朗日函数可以得到$$J(W) = -tr( WTXXTW) + \lambda(WTW-I)$$
对W求导有$$-XXTW+\lambda W=0$$, 整理下即为：$$XXTW=\lambda W$$
这样可以更清楚的看出，W为$$XXT$$的n'个特征向量组成的矩阵，而$$\lambda$$为$$XXT$$的特征值。当我们将数据集从n维降到n'维时，需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用$$z{(i)}=WTx^{(i)}$$,就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。
如果你熟悉谱聚类的优化过程，就会发现和PCA的非常类似，只不过谱聚类是求前k个最小的特征值对应的特征向量，而PCA是求前k个最大的特征值对应的特征向量。
3. PCA的推导:基于最大投影方差
现在我们再来看看基于最大投影方差的推导。
假设m个n维数据$$(x{(1)}, x{(2)},...,x{(m)})$$都已经进行了标准化，即$$\sum\limits_{i=1}{m}x{(i)}=0$$。经过投影变换后得到的新坐标系为$${w_1,w_2,...,w_n}$$,其中w是标准正交基，即$$||w||_2=1, w_iTw_j=0$$。
如果我们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为$${w_1,w_2,...,w_{n'}}$$,样本点$$x{(i)}$$在n'维坐标系中的投影为：$$z{(i)} = (z_1{(i)}, z_2{(i)},...,z_{n'}{(i)})$$.其中，$$z_j{(i)} = w_jTx{(i)}$$是$$x^{(i)}$$在低维坐标系里第j维的坐标。
对于任意一个样本$$x{(i)}$$，在新的坐标系中的投影为$$WTx{(i)}$$,在新坐标系中的投影方差为$$WTx{(i)}x{(i)T}W$$，要使所有的样本的投影方差和最大，也就是最大化$$\sum\limits_{i=1}{m}WTx{(i)}x{(i)T}W$$,即：$$argmax ;;tr( WTXXTW) ;;s.t. W^TW=I$$
观察第二节的基于最小投影距离的优化目标，可以发现完全一样，只是一个是加负号的最小化，一个是最大化。
利用拉格朗日函数可以得到$$J(W) = tr( WTXXTW) + \lambda(W^TW-I)$$
对W求导有$$XXTW+\lambda W=0$$, 整理下即为：$$XXTW=(-\lambda)W$$
和上面一样可以看出，W为$$XXT$$的n'个特征向量组成的矩阵，而$$-\lambda$$为$$XXT$$的特征值。当我们将数据集从n维降到n'维时，需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用$$z{(i)}=WTx^{(i)}$$,就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。
4. PCA算法流程
从上面两节我们可以看出，求样本$$x{(i)}$$的n'维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵$$XXT$$的前n'个特征值对应特征向量矩阵W，然后对于每个样本$$x{(i)}$$,做如下变换$$z{(i)}=WTx{(i)}$$，即达到降维的PCA目的。
下面我们看看具体的算法流程。
输入：n维样本集$$D=(x{(1)}, x{(2)},...,x^{(m)})$$，要降维到的维数n'.
输出：降维后的样本集D'
1) 对所有的样本进行中心化：$$x{(i)} = x{(i)} - \frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}{m} x{(j)}$$
2) 计算样本的协方差矩阵$$XX^T$$
3) 对矩阵$$XX^T$$进行特征值分解
4）取出最大的n'个特征值对应的特征向量$$(w_1,w_2,...,w_{n'})$$, 将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。
5）对样本集中的每一个样本$$x{(i)}$$,转化为新的样本$$z{(i)}=WTx{(i)}$$
6) 得到输出样本集$$D' =(z{(1)}, z{(2)},...,z^{(m)})$$
有时候，我们不指定降维后的n'的值，而是换种方式，指定一个降维到的主成分比重阈值t。这个阈值t在（0,1]之间。假如我们的n个特征值为$$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_n$$,则n'可以通过下式得到:$$\frac{\sum\limits_{i=1}{n'}\lambda_i}{\sum\limits_{i=1}{n}\lambda_i} \geq t$$
5. PCA实例
下面举一个简单的例子，说明PCA的过程。
假设我们的数据集有10个二维数据(2.5,2.4), (0.5,0.7), (2.2,2.9), (1.9,2.2), (3.1,3.0), (2.3, 2.7), (2, 1.6), (1, 1.1), (1.5, 1.6), (1.1, 0.9)，需要用PCA降到1维特征。
首先我们对样本中心化，这里样本的均值为(1.81, 1.91),所有的样本减去这个均值后，即中心化后的数据集为(0.69, 0.49), (-1.31, -1.21), (0.39, 0.99), (0.09, 0.29), (1.29, 1.09), (0.49, 0.79), (0.19, -0.31), (-0.81, -0.81), (-0.31, -0.31), (-0.71, -1.01)。
现在我们开始求样本的协方差矩阵，由于我们是二维的，则协方差矩阵为：
$$\mathbf{XX^T} = \left( \begin{array}{ccc} cov(x_1,x_1) & cov(x_1,x_2)\ cov(x_2,x_1) & cov(x_2,x_2) \end{array} \right)$$
对于我们的数据，求出协方差矩阵为：
$$\mathbf{XX^T} = \left( \begin{array}{ccc} 0.616555556 & 0.615444444\ 0.615444444 & 0.716555556 \end{array} \right)$$
求出特征值为（0.490833989， 1.28402771），对应的特征向量分别为：$$(0.735178656, 0.677873399)T;; (-0.677873399, -0.735178656)T$$,由于最大的k=1个特征值为1.28402771，对于的k=1个特征向量为$$(-0.677873399, -0.735178656)T$$. 则我们的$$W=(-0.677873399, -0.735178656)T$$
我们对所有的数据集进行投影$$z{(i)}=WTx^{(i)}$$，得到PCA降维后的10个一维数据集为：(-0.827970186， 1.77758033， -0.992197494， -0.274210416， -1.67580142， -0.912949103， 0.0991094375， 1.14457216, 0.438046137， 1.22382056)
6. 核主成分分析KPCA介绍
在上面的PCA算法中，我们假设存在一个线性的超平面，可以让我们对数据进行投影。但是有些时候，数据不是线性的，不能直接进行PCA降维。这里就需要用到和支持向量机一样的核函数的思想，先把数据集从n维映射到线性可分的高维N>n,然后再从N维降维到一个低维度n', 这里的维度之间满足n'<n<N。
使用了核函数的主成分分析一般称之为核主成分分析(Kernelized PCA, 以下简称KPCA。假设高维空间的数据是由n维空间的数据通过映射$$\phi$$产生。
则对于n维空间的特征分解：$$\sum\limits_{i=1}{m}x{(i)}x^{(i)T}W=\lambda W$$
映射为：$$\sum\limits_{i=1}{m}\phi(x{(i)})\phi(x{(i)})TW=\lambda W$$
通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，然后用和PCA一样的方法进行降维。一般来说，映射$$\phi$$不用显式的计算，而是在需要计算的时候通过核函数完成。由于KPCA需要核函数的运算，因此它的计算量要比PCA大很多。
7. PCA算法总结
这里对PCA算法做一个总结。作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如第六节的为解决非线性降维的KPCA，还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA，以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。
PCA算法的主要优点有：
1）仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。
2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。
3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。
PCA算法的主要缺点有：
1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。
2）方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。
