附录 C、SVM 对偶..

Sklearn 与 TensorFlow 机器学习实用指南 (Hands On Machine Learning with Scikit Learn and TensorFlow)

附录 D、自动微分

这个附录解释了 TensorFlow 的自动微分功能是如何工作的，以及它与其他解决方案的对比。

假定你定义了函数 f(x, y) = x^2y + y + 2，需要得到它的偏导数 \frac{\partial f}{\partial x} 和 \frac{\partial f}{\partial y}，以用于梯度下降或者其他优化算法。你的可选方案有手动微分法，符号微分法，数值微分法，前向自动微分，和反向自动微分。TensorFlow 实现的反向自动微分法。我们来看看每种方案。

手动微分法

第一个方法是拿起一直笔和一张纸，使用你的代数知识去手动的求偏导数。对于已定义的函数，求它的偏导并不太困难。你需要使用如下 5 条规则：

  • 常数的导数为 0。
  • \lambda x 的导数为 \lambda，\lambda 为常数。
  • x^{\lambda} 的导数是 \lambda x^{\lambda - 1}
  • 函数的和的导数，等于函数的导数的和
  • \lambda 乘以函数，再求导，等于 \lambda 乘以函数的导数

从上述这些规则，可得到公式 D-1。

公式D-1

这个种方法应用于更复杂函数时将变得非常罗嗦，并且有可能出错。好消息是，像刚才我们做的求数学式子的偏导数可以被自动化，通过一个称为符号微分的过程。

符号微分

图 D-1 展示了符号微分是如何运行在相当简单的函数上的，g(x,y) = 5 + xy。该函数的计算图如图的左边所示。通过符号微分，我们可得到图的右部分，它代表了 \frac{\partial g}{\partial x} = 0 + (0 \times x + y \times 1) = y，相似地也可得到关于y的导数。

D-1

概算法先获得叶子节点的偏导数。常数 5 返回常数 0，因为常数的导数总是 0。变量x返回常数 1，变量y返回常数 0，因为 \frac{\partial y}{\partial x} = 0（如果我们找关于y的偏导数，那它将反过来）。

现在我们移动到计算图的相乘节点处，代数告诉我们，u和v相乘后的导数为 \frac{\partial (u \times v)}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x} \times u + \frac{\partial u}{\partial x} \times v 。因此我们可以构造有图中大的部分，代表0 × x + y × 1。

最后我们往上走到计算图的相加节点处，正如 5 条规则里提到的，和的导数等于导数的和。所以我们只需要创建一个相加节点，连接我们已经计算出来的部分。我们可以得到正确的偏导数，即：\frac{\partial g}{\partial x} = 0 + (0 \times x + y \times 1) 。

然而，这个过程可简化。对该图应用一些微不足道的剪枝步骤，可以去掉所有不必要的操作，然后我们可以得到一个小得多的只有一个节点的偏导计算图：\frac{\partial g}{\partial x} = y。

在这个例子里，简化操作是相当简单的，但对更复杂的函数来说，符号微分会产生一个巨大的计算图，该图可能很难去简化，以导致次优的性能。更重要的是，符号微分不能处理由任意代码定义的函数，例如，如下已在第 9 章讨论过的函数：

def my_func(a, b):
    z = 0
    for i in range(100):
        z = a * np.cos(z + i) + z * np.sin(b - i)
    return z

数值微分

从数值上说，最简单的方案是去计算导数的近似值。回忆h(x)在 x_0 的导数 h^{'}(x_0)，是该函数在该点处的斜率，或者更准确如公式 D-2 所示。

E_D-2

因此如果我们想要计算 f(x,y) 关于x，在 x=3, y=4 处的导数，我们可以简单计算 f(3+\epsilon, 4) - f(3, 4) 的值，将这个结果除以 \epsilon，且 \epsilon 去很小的值。这个过程正是如下的代码所要干的。

def f(x, y):
    return x**2*y + y + 2
  
def derivative(f, x, y, x_eps, y_eps):
    return (f(x + x_eps, y + y_eps) - f(x, y)) / (x_eps + y_eps)
  
df_dx = derivative(f, 3, 4, 0.00001, 0)
df_dy = derivative(f, 3, 4, 0, 0.00001)

不幸的是，偏导的结果并不准确（并且可能在求解复杂函数时更糟糕）。上述正确答案分别是 24 和 10 ，但我们得到的是：

>>> print(df_dx)
24.000039999805264
>>> print(df_dy)
10.000000000331966

注意到为了计算两个偏导数， 我们不得不调用f()至少三次（在上述代码里我们调用了四次，但可以优化）。如果存在 1000 个参数，我们将会调用f()至少 1001 次。当处理大的神经网络时，这样的操作很没有效率。

然而，数值微分实现起来如此简单，以至于它是检查其他方法正确性的优秀工具。例如，如果它的结果与您手动计算的导数不同，那么你的导数可能包含错误。

前向自动微分

前向自动微分既不是数值微分，也不是符号微分，但在某些方面，它是他们的爱情结晶。它依赖对偶数。对偶数是奇怪但迷人的，是 a + b\epsilon 形式的数，这里a和b是实数，\epsilon 是无穷小的数，满足 \epsilon ^ 2 = 0，但 \epsilon \ne 0。你可以认为对偶数 42 + 24\epsilon 类似于有着无穷个 0 的 42.0000⋯000024（但当然这是简化后的，仅仅给你对偶数什么的想法）。一个对偶数在内存中表示为一个浮点数对，例如，42 + 24\epsilon 表示为(42.0, 24.0)。

对偶数可相加、相乘、等等操作，正如公式 D-3 所示。

E_D-3

最重要的，可证明h(a + bϵ) = h(a) + b × h'(a)ϵ，所以计算一次h(a + ϵ)就得到了两个值h(a)和h'(a)。图 D-2 展示了前向自动微分如何计算 f(x,y)=x^2y + y + 2 关于x，在 x=3, y=4 处的导数。我们所要做的一切只是计算 f(3+\epsilon, 4)；它将输出一个对偶数，其第一部分等于 f(3, 4)，第二部分等于 f^{'}(3, 4) = \frac{\partial f}{\partial x} (3,4)。

D-2

为了计算 \frac{\partial f}{\partial y} (3,4) 我们不得不再遍历一遍计算图，但这次前馈的值为 x=3, y = 4 + \epsilon。

所以前向自动微分比数值微分准确得多，但它遭受同样的缺陷：如果有 1000 个参数，那为了计算所有的偏导数，得历经计算图 1000 次。这正是反向自动微分耀眼的地方：计算所有的偏导数，它只需要遍历计算图 2 次。

反向自动微分

反向自动微分是 TensorFlow 采取的方案。它首先前馈遍历计算图（即，从输入到输出），计算出每个节点的值。然后进行第二次遍历，这次是反向遍历（即，从输出到输入），计算出所有的偏导数。图 D-3 展示了第二次遍历的过程。在第一次遍历过程中，所有节点值已被计算，输入是 x=3, y=4。你可以在每个节点底部右方看到这些值（例如，x \times x = 9）。节点已被标号，从 n_1 到 n_7。输出节点是 n_7: f(3, 4) = n_7 = 42。

D-3

这个计算关于每个连续节点的偏导数的思想逐渐地从上到下遍历图，直到到达变量节点。为实现这个，反向自动微分强烈依赖于链式法则，如公式 D-4 所示。

E_D-4

由于 n_7 是输出节点，即 f= n_7，所以 \frac{\partial f}{\partial n_7} = 1。

接着到了图的 n_5 节点：当 n_5 变化时，f 会变化多少？答案是 \frac{\partial f}{\partial n_5} = \frac{\partial f}{\partial n_7} \times \frac{\partial n_7}{\partial n_5}。我们已经知道 \frac{\partial f}{\partial n_7} = 1，因此我们只需要知道 \frac{\partial n_7}{\partial n_5} 就行。因为 n_7 是 n_5 + n_6 的和，因此可得到 \frac{\partial n_7}{\partial n_5} = 1，因此 \frac{\partial f}{\partial n_5}=1 \times 1 = 1。

现在前进到 n_4：当 n_4 变化时，f 会变化多少？答案是 \frac{\partial f}{\partial n_4} = \frac{\partial f}{\partial n_5} \times \frac{\partial n_5}{\partial n_4}。由于 n_5 = n_4 \times n_2，我们可得到 \frac{\partial n_5}{\partial n_4} = n_2，所以 \frac{\partial f}{\partial n_4}= 1 \times n_2 = 4。

这个遍历过程一直持续，此时我们达到图的底部。这时我们已经得到了所有偏导数在点 x=3, y=4 处的值。在这个例子里，我们得到 \frac{\partial f}{\partial x} = 24, \frac{\partial f}{\partial y} = 10。听起来很美妙！

反向自动微分是非常强大且准确的技术，尤其是当有很多输入参数和极少输出时，因为它只要求一次前馈传递加上一次反向传递，就可计算所有输出关于所有输入的偏导数。最重要的是，它可以处理任意代码定义的函数。它也可以处理那些不完全可微的函数，只要 你要求他计算的偏导数在该点处是可微的。

如果你在 TensorFlow 中实现了新算子，你想使它与现有的自动微分相兼容，那你需要提供函数，该函数用于构建一个子图，来计算关于新算子输入的偏导数。例如，假设你实现了一个计算其输入的平方的函数，平方算子 f(x)= x ^2，在这个例子中你需要提供相应的导函数 f^{'}(x)= 2x 。注意这个导函数不计算一个数值结果，而是用于构建子图，该子图后续将计算偏导结果。这是非常有用的，因为这意味着你可以计算梯度的梯度（为了计算二阶导数，或者甚至更高阶的导数）。

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